题目描述
有一个 \(m\times n\) 的数组 \(a_{i,j}\)。
定义：
\(f(i,j)=\min\limits_{k=1}^m(a_{k,i}+a_{k,j})+\max\limits_{k=1}^m(a_{k,i}+a_{k,j})\)
你需要求出 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(i,j)\)
输入格式
第一行两个正整数 \(m,n\)。
接下来 \(m\) 行，每行 \(n\) 个正整数表示 \(a_{i,j}\)。
输出格式
一行一个正整数，表示答案。
输入输出样例
输入 #1
3 5
1 7 2 2 7
9 10 4 10 3
7 7 8 10 2
输出 #1复制
564
说明/提示
【样例 1 解释】
以 \(f(3,5)\) 为例：
\(\begin{aligned}f(3,5)&=\max(a_{1,3}+a_{1,5},a_{2,3}+a_{2,5},a_{3,3}+a_{3,5})+\min(a_{1,3}+a_{1,5},a_{2,3}+a_{2,5},a_{3,3}+a_{3,5})\\&=\max(9,7,10)+\min(9,7,10)\\&=10+7\\&=17\end{aligned}\)
下面给出 \(f(i,j)\) 的数表，第 \(i\) 行第 \(j\) 列表示 \(f(i,j)\)：
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline20&27&18&22&20\\\hline27&34&24&29&23\\\hline18&24&20&22&17\\\hline22&29&22&24&22\\\hline20&23&17&22&18\\\hline\end{array}\)
它们的和是答案 \(564\)。
统一一下，为了避免繁琐的分类讨论，我们把第一行多复制几次，填满四行。这样子答案很明显是不会变的，本来的最大值和最小值不会变。所以我们同意\(m=4\)处理。
首先我们考虑计算出一个数\(a_{i,j}\)会被计算多少次，然后乘上。但是这样子计算需要三维偏序，代码量巨大，同时容易被卡常。所以我们反着来考虑，设他在每次涉及这一列时都会被计算一次，那么总答案为\(2\times n\times sum\)，sum为\(a_{i,j}\)的和。要注意\(f(i,j)\)和\(f(j,i)\)都会被计算到。
然后考虑一个数什么时候是没有贡献的，当存在$$a_i+a_j\le b_i+b_j\le c_i+c_j$$时，\(b_j\)在计算\(f(i,j)\)时没有贡献。我们可以枚举a,b,c数组然后减去b的在上面这种情况中的不合法现象。
如何计算是一个重点。首先对式子进行移项，得到$$a_i-b_i\le b_j-a_j$$
\[b_i-c_i\le c_j-b_j
\]
对于j这个位置来说，要求有多少个数是满足上面两个式子的，这很明显是一个二位偏序问题。我们把所有\(a_i-b_i\)和$ b_j-a_j$进行排序，然后遍历。如果是前者那就更新，如果是后者那就询问。题目为了帮我们卡常，很良心地把范围缩小。
其实大体就是这样了。注意其实一个不在范围里的数他也会被减去两次，设\(a 还有一个值得注意的地方，设\(a #include using namespace std; const int N=2e5+5; int m,n,a[5][N],tr[N+N],lsh[N+N],ret,mx,mn,t; long long sum; struct node{ int x,y,val,z; bool operator<(const node&n)const{ if(x!=n.x) return x return z } }q[N+N]; int ask(int x) { ret=0; for(;x;x-=x&-x) ret+=tr[x]; return ret; } void update(int x) { for(;x<=N+N;x+=x&-x) tr[x]++; } void solve(int x,int y,int z) { memset(tr,0,sizeof(tr)); for(int i=1;i<=n;i++) { q[i<<1]=(node){a[y][i]-a[x][i],a[z][i]-a[y][i],a[y][i],1}; q[2*i-1]=(node){a[x][i]-a[y][i]+(x>y),a[y][i]-a[z][i]+(y>z),0,0}; } sort(q+1,q+n+n+1); for(int i=1;i<=n+n;i++) { if(q[i].z) sum-=1LL*q[i].val*ask(q[i].y+N); else update(q[i].y+N); } } int main() { scanf("%d%d",&m,&n); for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",a[i]+j); for(int i=m+1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=a[1][j]; for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=n;j++) sum+=a[i][j]; sum=sum*n*2; for(int i=1;i<=4;i++) for(int j=1;j<=4;j++) if(i!=j) for(int k=1;k<=4;k++) if(i!=k&&j!=k) solve(i,j,k); printf("%lld",sum); return 0; }